2018年秋人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷含答案解析

发布于:2021-06-18 21:12:54

2018 年九年级上学期 第 22 章 二次函数 单元测试卷

数学试卷

考试时间:120 分钟;满分:150 分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

题号







总分

得分

评卷人 得 分

一.选择题(共 10 小题,满分 40 分,每小题 4 分)

1.(4 分)下列函数中,二次函数是( )

A.y=﹣4x+5

B.y=x(2x﹣3)

C.y=(x+4)2﹣x2

D.y=

1 x2

2.(4 分)已知二次函数 y=a(x﹣h)2+k 的图象如图所示,直线 y=ax+hk 的图象经第几

象限( )

A.一、二、三

B.一、二、四

C.一、三、四

D.二、三、四

3.(4 分)抛物线 y=2x2﹣1 与直线 y=﹣x+3 的交点的个数是( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

4.(4 分)设点(﹣1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线 y=﹣x2+a 上的三点,则 y1、

y2、y3 的大小关系为( )

A.y3>y2>y1 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y1>y2>y3

5.(4 分)设一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m(m>0)的两根分别为 α,β.且 α<β,

则二次函数 y=(x﹣2)(x﹣3)的函数值 y>m 时自变量 x 的取值范围是( )

A.x>3 或 x<2B.x>β 或 x<α C.α<x<β D.2<x<3

6.(4 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c 中,y 与 x 的部分对应值如下:

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个解 x 满足条件( ) A.1.2<x<1.3 B.1.3<x<1.4 C.1.4<x<1.5 D.1.5<x<1.6 7.(4 分)已知二次函数 y=﹣(x﹣h)2(h 为常数),当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时, 与其对应的函数值 y 的最大值为﹣1,则 h 的值为( ) A.3 或 6 B.1 或 6 C.1 或 3 D.4 或 6 8.(4 分)将进货价格为 35 元的商品按单价 40 元售出时,能卖出 200 个,已知该商品 单价每上涨 2 元,其销售量就减少 10 个.设这种商品的售价为 x 元时,获得的利润为 y 元,则下列关系式正确的是( ) A.y=(x﹣35)(400﹣5x) B.y=(x﹣35)(600﹣10x) C.y=(x+5)(200﹣5x) D.y=(x+5)(200﹣10x) 9.(4 分)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)满足 函数表达式 h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是( ) A.点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B.点火后 24s 火箭落于地面 C.点火后 10s 的升空高度为 139m D.火箭升空的最大高度为 145m 10.(4 分)如图,OABC 是边长为 1 的正方形,OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15°,点 B 在抛物线 y=ax2(a<0)的图象上,则 a 的值为( )

A. ? 2 3

B. ? 2 3

评卷人 得 分

C.﹣2

D. ? 1 2

二.填空题(共 4 小题,满分 20 分,每小题 5 分)

11.(5 分)抛物线 y=﹣2x2﹣1 的顶点坐标是



12.(5 分)若函数 y=x2+2x﹣m 的图象与 x 轴有且只有一个交点,则 m 的值为



13.(5 分)如图,抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(﹣2,4),B

(1,1),则方程 ax2=bx+c 的解是



14.(5 分)如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面 2m 时,水面宽 4m,水面下降 2m,

水面宽度增加

m.

评卷人 得 分

三.解答题(共 9 小题,满分 90 分) 15.(8 分)已知抛物线 y=ax2+bx﹣3(a≠0)经过点(﹣1,0),(3,0),求 a,b 的值. 16.(8 分)下表给出了代数式﹣x2+bx+c 与 x 的一些对应值:

x

… ﹣2 ﹣1 0 1 2

3



﹣x2+bx+c … 5

n

c

2 ﹣3 ﹣10 …

(1)根据表格中的数据,确定 b,c,n 的值; (2)设 y=﹣x2+bx+c,直接写出 0≤x≤2 时 y 的最大值. 17.(8 分)已知函数 y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.

(1)若这个函数是一次函数,求 m 的值; (2)若这个函数是二次函数,则 m 的值应怎样?

18.(8 分)设方程 x2﹣x﹣1=0 的两个根为 a,b,求满足 f(a)=b,f(b)=a,f(1)

=1 的二次函数 f(x).

19.(10 分)已知二次函数 y=﹣ 3 x2+bx+c 的图象经过 A(0,3),B(﹣4,﹣ 9 )两

16

2

点.

(1)求 b,c 的值. (2)二次函数 y=﹣ 3 x2+bx+c 的图象与 x 轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;
16 若没有,请说明情况.

20.(10 分)已知二次函数 y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)(m 为常数).

(1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有公共点;

(2)当 m 取什么值时,该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方? 21.(12 分)已知函数 y=﹣x2+mx+(m+1)(其中 m 为常数)

(1)该函数的图象与 x 轴公共点的个数是

个.

(2)若该函数的图象对称轴是直线 x=1,顶点为点 A,求此时函数的解析式及点 A 的

坐标.

22.(12 分)已知二次函数 y=9x2﹣6ax+a2﹣b

(1)当 b=﹣3 时,二次函数的图象经过点(﹣1,4)

①求 a 的值;

②求当 a≤x≤b 时,一次函数 y=ax+b 的最大值及最小值; (2)若 a≥3,b﹣1=2a,函数 y=9x2﹣6ax+a2﹣b 在﹣ 1 <x<c 时的值恒大于或等于 0,
2 求实数 c 的取值范围.

23.(14 分)如图,抛物线 y=ax2+bx(a>0,b<0)交 x 轴于 O,A 两点,顶点为 B

(I)直接写出 A,B 两点的坐标(用含 a,b 的代数式表示).

(II)直线 y=kx+m(k>0)过点 B,且与抛物线交于另一点 D(点 D 与点 A 不重合),

交 y 轴于点 C.过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E,连接 AB,CE,求证:CE∥AB.

(III)在(II)的条件下,连接 OB,当∠OBA=120, 3 ≤k≤ 3 时,求 AB 的取值范

2

CE

围.

2018 年九年级上学期 第 22 章 二次函数 单元测试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题,满分 40 分,每小题 4 分)

1.

【分析】根据二次函数的定义,逐一分析四个选项即可得出结论.

【解答】解:A、y=﹣4x+5 为一次函数;

B、y=x(2x﹣3)=2x2﹣3x 为二次函数;

C、y=(x+4)2﹣x2=8x+16 为一次函数;

D、y=

1 x2

不是二次函数.

故选:B.

【点评】本题考查了二次函数的定义,牢记二次函数的定义是解题的关键.

2. 【分析】根据二次函数的图象可以判断 a、h、k 的符号,然后根据一次函数的性质即 可判断直线 y=ax+hk 的图象经第几象限,本题得以解决. 【解答】解:由函数图象可知, y=a(x﹣h)2+k 中的 a<0,h<0,k>0, ∴直线 y=ax+hk 中的 a<0,hk<0, ∴直线 y=ax+hk 经过第二、三、四象限, 故选:D. 【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意, 利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.

3. 【分析】根据方程组,转化为一元二次方程,利用根的判别式即可判断;

【解答】解:由

? ? ?

y y

? ?

?x ?3 2x2 ?1

,消去

y

得到:2x2+x﹣4=0,

∵△=1﹣(﹣32)=33>0,

∴抛物线 y=2x2﹣1 与直线 y=﹣x+3 有两个交点,

故选:C. 【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于 中考常考题型.
4. 【分析】由题意可得对称轴为 y 轴,则(﹣1,y1)关于 y 轴的对称点为(1,y1),根 据二次函数的增减性可得函数值的大小关系. 【解答】解:∵抛物线 y=﹣x2+a ∴对称轴为 y 轴 ∴(﹣1,y1)关于对称轴 y 轴对称点为(1,y1) ∵a=﹣1<0 ∴当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小 ∵1<2<3 ∴y1>y2>y3 故选:D. 【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征,二次函数的增减性,利用增减 性比较函数值的大小是本题的关键
5. 【分析】依照题意画出图象,观察图形结合二次函数的性质,即可找出结论. 【解答】解:依照题意画出图形,如图所示. ∵一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m(m>0)的两根分别为 α、β, ∴二次函数 y=(x﹣2)(x﹣3)的函数值 y>m 时自变量 x 的取值范围是 x>β 或 x<α. 故选:B.
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的图象,依 照题意画出图形,利用数形结合解决问题是解题的关键.

6. 【分析】仔细看表,可发现 y 的值﹣0.24 和 0.25 最接* 0,再看对应的 x 的值即可得. 【解答】解:由表可以看出,当 x 取 1.4 与 1.5 之间的某个数时,y=0,即这个数是 ax2+bx+c=0 的一个根. ax2+bx+c=0 的一个解 x 的取值范围为 1.4<x<1.5. 故选:C. 【点评】本题考查了同学们的估算能力,对题目的正确估算是建立在对二次函数图象 和一元二次方程关系正确理解的基础上的.
7. 【分析】分 h<2、2≤h≤5 和 h>5 三种情况考虑:当 h<2 时,根据二次函数的性质 可得出关于 h 的一元二次方程,解之即可得出结论;当 2≤h≤5 时,由此时函数的最 大值为 0 与题意不符,可得出该情况不存在;当 h>5 时,根据二次函数的性质可得出 关于 h 的一元二次方程,解之即可得出结论.综上即可得出结论. 【解答】解:当 h<2 时,有﹣(2﹣h)2=﹣1, 解得:h1=1,h2=3(舍去); 当 2≤h≤5 时,y=﹣(x﹣h)2 的最大值为 0,不符合题意; 当 h>5 时,有﹣(5﹣h)2=﹣1, 解得:h3=4(舍去),h4=6. 综上所述:h 的值为 1 或 6. 故选:B.
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质,分 h<2、2≤h≤5 和 h>5 三种情况求出 h 值是解题的关键.
8. 【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润; 【解答】解:设这种商品的售价为 x 元时,获得的利润为 y 元,根据题意可得:y=(x

﹣35)(400﹣5x), 故选:A. 【点评】此题考查了二次函数的应用,解题的关键是理解“商品每个涨价 2 元,其销售 量就减少 10 个”.

9. 【分析】分别求出 t=9、13、24、10 时 h 的值可判断 A、B、C 三个选项,将解析式配 方成顶点式可判断 D 选项. 【解答】解:A、当 t=9 时,h=136;当 t=13 时,h=144;所以点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度不相同,此选项错误; B、当 t=24 时 h=1≠0,所以点火后 24s 火箭离地面的高度为 1m,此选项错误; C、当 t=10 时 h=141m,此选项错误; D、由 h=﹣t2+24t+1=﹣(t﹣12)2+145 知火箭升空的最大高度为 145m,此选项正确; 故选:D. 【点评】本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.

10. 【分析】连接 OB,过 B 作 BD⊥x 轴于 D,若 OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15°,那么∠ BOD=30°;在正方形 OABC 中,已知了边长,易求得对角线 OB 的长,进而可在 Rt△OBD 中求得 BD、OD 的值,也就得到了 B 点的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即 可求得待定系数 a 的值. 【解答】解:如图,连接 OB,过 B 作 BD⊥x 轴于 D; 则∠BOC=45°,∠BOD=30°;
已知正方形的边长为 1,则 OB= 2 ;

Rt△OBD 中,OB= 2 ,∠BOD=30°,则:

BD= 1 OB= 2 ,OD= 3 OB= 6 ;

2

2

2

2

故 B( 6 ,﹣ 2 ),

2

2

代入抛物线的解析式中,得:

( 6 )2a=﹣ 2 ,

2

2

解得 a=﹣ 2 ; 3
故选:B.

【点评】此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函 数解析式的方法,能够正确地构造出与所求相关的直角三角形,是解决问题的关键.
二.填空题(共 4 小题,满分 20 分,每小题 5 分) 11. 【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标,本题得以解决. 【解答】解:∵y=﹣2x2﹣1, ∴该抛物线的顶点坐标为(0,﹣1), 故答案为:(0,﹣1). 【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次和函数的 性质解答.
12. 【分析】由抛物线与 x 轴只有一个交点,即可得出关于 m 的一元一次方程,解之即可 得出 m 的值. 【解答】解:∵函数 y=x2+2x﹣m 的图象与 x 轴有且只有一个交点, ∴△=22﹣4×1×(﹣m)=0, 解得:m=﹣1.

故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点,牢记“当△=b2﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点”是解题的关键.

13.

【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组

? ?

y

?

ax2

的解为

?y ? bx ? c

? ? ?

x1 y1

? ?

?2 4



? ? ?

x2 y2

? 1 ,于是易得关于 ?1

x

的方程

ax2﹣bx﹣c=0

的解.

【解答】解:∵抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(﹣2,4),B(1,

1),

∴方程组

? ? ?

y y

? ?

ax2 bx ?

c

的解为

? ? ?

x1 y1

? ?

?2 4



? ? ?

x2 y2

?1, ?1

即关于 x 的方程 ax2﹣bx﹣c=0 的解为 x1=﹣2,x2=1. 所以方程 ax2=bx+c 的解是 x1=﹣2,x2=1

故答案为 x1=﹣2,x2=1.

【点评】本题考查抛物线与 x 轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识,解题

的关键是灵活运用所学知识,学会利用图象法解决实际问题,属于中考常考题型.

14. 【分析】根据已知建立*面直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把 y=﹣2 代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案. 【解答】解:建立*面直角坐标系,设横轴 x 通过 AB,纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点,则通过画图可得知 O 为原点,

抛物线以 y 轴为对称轴,且经过 A,B 两点,OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米,抛物

线顶点 C 坐标为(0,2), 通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2,其中 a 可通过代入 A 点坐标(﹣2,0), 到抛物线解析式得出:a=﹣0.5,所以抛物线解析式为 y=﹣0.5x2+2, 当水面下降 1 米,通过抛物线在图上的观察可转化为: 当 y=﹣2 时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线 y=﹣2 与抛物线相交的两 点之间的距离, 可以通过把 y=﹣2 代入抛物线解析式得出: ﹣2=﹣0.5x2+2,
解得:x=±2 2 ,所以水面宽度增加到 4 2 米,比原先的宽度当然是增加了(4 2 ﹣ 4)米,
故答案为:4 2 ﹣4. 【点评】此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解 析式是解决问题的关键.

三.解答题(共 9 小题,满分 90 分) 15. 【分析】根据抛物线 y=ax2+bx﹣3(a≠0)经过点(﹣1,0),(3,0),可以求得 a、b 的值,本题得以解决. 【解答】解:∵抛物线 y=ax2+bx﹣3(a≠0)经过点(﹣1,0),(3,0),



?a ? b ? 3 ? 0 ??9a ? 3b ? 3 ?

0



解得,

?a ??b

? ?

1 ?2



即 a 的值是 1,b 的值是﹣2.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用

二次函数的性质解答.

16. 【分析】(1)把(﹣2,5)、(1,2)分别代入﹣x2+bx+c 中得到关于 b、c 的方程组,

然后解方程组即可得到 b、c 的值;然后计算 x=﹣1 时的代数式的值即可得到 n 的值; (2)利用表中数据求解.

【解答】解:(1)根据表格数据可得

?? 4 ? 2b ???1? b ?

? c

c ?

? 2

5

,解得

?b ??c

? ?

?2 5



∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5, 当 x=﹣1 时,﹣x2﹣2x+5=6,即 n=6;

(2)根据表中数据得当 0≤x≤2 时,y 的最大值是 5.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数

关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一

般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求

解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线

与 x 轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.

17. 【分析】(1)根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程组,根据 解方程组,可得答案;

(2)根据二次项的系数不等于零,可得方程,根据解方程,可得答案.

【解答】解:依题意得

?m 2 ?

?

m

?

0

?m ?1 ? 0



?m ??m

? ?

0或 m 1

?

1

∴m=0;

(2)依题意得 m2﹣m≠0, ∴m≠0 且 m≠1. 【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键.

18. 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求得 ab=﹣1,a+b=1,a2+b2=(a+b)2﹣ 2ab=3.根据题意知,二次函数经过点(a,b),(b,a),(1,1).把它们代入二次函 数解析式 f(x)=kx2+dx+c(k≠0),列出方程组,通过解方程组可以求得 k、d、c 的值.

【解答】解:∵方程 x2﹣x﹣1=0 的两个根为 a、b, ∴ab=﹣1,a+b=1, ∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=3. 设 f(x)=kx2+dx+c(k≠0), ∵f(a)=b,f(b)=a,f(1)=1,





由①﹣②,得(a+b)k+d=﹣1,即 k+d=﹣1,④ 由①+②,得 k(a2+b2)+d(a+b)+2c=a+b,即 3k+d+2c=1,⑤ 把④代入③解得 c=2. 则由⑤得 3k+d=﹣3,⑥ 由③⑥解得,k=﹣1,d=0. 故该二次函数是 f(x)=﹣x2+2. 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点,二次函数解析式的求解及其常用方法,解 方程组.解题时要认真审题,仔细解答.

19.

【分析】(1)把点 A、B 的坐标分别代入函数解析式求得 b、c 的值;

(2)利用根的判别式进行判断该函数图象是否与 x 轴有交点,由题意得到方程﹣

3 x2+ 9 x+3=0,通过解该方程求得 x 的值即为抛物线与 x 轴交点横坐标. 16 8

【解答】解:(1)把 A(0,3),B(﹣4,﹣ 9 )分别代入 y=﹣ 3 x2+bx+c,得

2

16

?c ? 3

? ????

3 16

?16

?

4b

?

c

?

?

9 2



解得

??b ?

?

9 8



??c ? 3

(2)由(1)可得,该抛物线解析式为:y=﹣ 3 x2+ 9 x+3. 16 8

△=( 9 )2﹣4×(﹣ 3 )×3= 225 >0,

8

16

64

所以二次函数 y=﹣ 3 x2+bx+c 的图象与 x 轴有公共点. 16

∵﹣

3 16

x2+

9 8

x+3=0

的解为:x1=﹣2,x2=8

∴公共点的坐标是(﹣2,0)或(8,0).

【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解

析式与一元二次方程间的转化关系.

20. 【分析】(1)代入 y=0 求出 x 的值,分 m+3=1 和 m+3≠1 两种情况考虑方程解的情况, 进而即可证出:不论 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有公共点; (2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标,令其 大于 0 即可求出结论. 【解答】(1)证明:当 y=0 时,2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=0, 解得:x1=1,x2=m+3. 当 m+3=1,即 m=﹣2 时,方程有两个相等的实数根; 当 m+3≠1,即 m≠﹣2 时,方程有两个不相等的实数根. ∴不论 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有公共点; (2)解:当 x=0 时,y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=2m+6, ∴该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2m+6, ∴当 2m+6>0,即 m>﹣3 时,该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方. 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元 一次不等式,解题的关键是:(1)由方程 2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=0 有解证出该函数的 图象与 x 轴总有公共点;(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标.

21. 【分析】(1)表示出根的判别式,判断其正负即可得到结果; (2)先依据抛物线的对称轴方程求得 m 的值,从而可得到抛物线的解析式,然后利用 配方法可求得点 A 的坐标. 【解答】解:(1)∵函数 y=﹣x2+mx+(m+1)(m 为常数),

∴△=m2+4(m+1)=(m+2)2≥0, ∴该函数图象与 x 轴的公共点的个数是 1 或 2. 故答案为:1 或 2. (2)∵抛物线的对称轴是直线 x=1, ∴ m =1,解得 m=2,
2 ∴抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3. y=﹣x2+2x+3═﹣x2+2x﹣1+4=﹣(x﹣1)2+4, ∴A(1,4). 【点评】本题主要考查的是抛物线与 x 轴的交点,掌握抛物线与 x 轴交点个数与△之 间的关系是解题的关键.
22. 【分析】先求出该抛物线的对称轴,然后根据对称轴的位置即可求出 a 的取值范围. 【解答】解:(1)①∵y=9x2﹣6ax+a2﹣b,当 b=﹣3 时, 二次函数的图象经过点(﹣1,4) ∴4=9×(﹣1)2﹣6a×(﹣1)+a2+3, 解得,a1=﹣2,a2=﹣4, ∴a 的值是﹣2 或﹣4; ②∵a≤x≤b,b=﹣3 ∴a=﹣2 舍去, ∴a=﹣4, ∴﹣4≤x≤﹣3, ∴一次函数 y=﹣4x﹣3, ∵一次函数 y=﹣4x﹣3 为单调递减函数, ∴当 x=﹣4 时,函数取得最大值,y=﹣4×(﹣4)﹣3=13 x=﹣3 时,函数取得最小值,y=﹣4×(﹣3)﹣3=9 (2)∵b﹣1=2a ∴y=9x2﹣6ax+a2﹣b 可化简为 y=9x2﹣6ax+a2﹣2a﹣1 ∴抛物线的对称轴为:x= a ≥1,
3

抛物线与 x 轴的交点为( a ? 2a ?1 ,0)( a ? 2a ?1 ,0)

3

3

∵函数 y=9x2﹣6ax+a2﹣b 在﹣ 1 <x<c 时的值恒大于或等于 0 2

∴c≤ a ? 2a ?1 , 3

∵a≥3,

∴﹣ 1 <c≤ 3 ? 7 .

2

3

【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象,本题属

于中等题型.

23.

【分析】(Ⅰ)令 y=0,可求 A 点坐标,根据顶点公式可求 B 点坐标.

(Ⅱ)如图作 BF⊥AO,根据根与系数关系可求 D 的横坐标,即可求 OC,OE,AF,BF

的长度(用 a,b,m 表示),可证△OEC∽△ABF,即可证 AB∥EC

(Ⅲ)由∠ABO=120°,根据抛物线的对称性可得∠FBA=60°,可求 b 的值,则可求 B 点 坐标,直线 y=kx+m 过 B 点,可求 m 与 k 的关系,由△OEC∽△ABF,可求得 AB 的取
CE 值范围.

【解答】解:(Ⅰ)当 y=0 时,有 ax2+bx=0,

解得:x1=0,x2=﹣

a b



∴点 A 的坐标为(﹣ a ,0). b

∵抛物线 y=ax2+bx=a(x+ a )2﹣ b2 ,

2b

4a

∴点 B 的坐标为(﹣ a ,﹣ b2 ). 2b 4a
(II)如图作 BF⊥AO

∵直线 y=kx+m(k>0)与抛物线相交于 B,D

∴kx+m=ax2+bx

∴ax2+bx﹣kx﹣m=0

∴xB×xD=﹣

m a

∴﹣

b 2a

×xD=﹣

m a

∴xD=

2m b

∴OE= 2m b

∵C(0,m),B(﹣ b ,﹣ b2 ),A(﹣ b ,0)

2a 4a

a

∴OC=﹣m,AF=﹣ b ? b ? ? b ,BF= b2

a 2a 2a

4a

∴ AF ? BF ? ? b2 ,且∠COA=∠BFA=90° OE OC 4am

∴△ABF∽△OCE

∴∠FAB=∠OEC

∴AB∥CE

(Ⅲ)∵∠OBA=120°

∴∠FBA=60°

?b

∴tan∠FBA= AF BF

?

2a b2

?

3

4a

∴b=﹣ 2 3 3

∴B( 3 ,﹣ 1 )

3a

3a

∵直线 y=kx+m 过 B 点

∴﹣ 1 = 3 k+m 3a 3a

∴m=﹣ 1 ﹣ 3 k 3a 3a
∵△ABF∽△OCE ∴ AB ? AF ? ? b2 ? 1
CE OE 4am 1? 3k

∵ 3 ≤k≤ 3 2
∴1≤ 1 ≤2 4 1? 3k 5
即 1 ? AB ? 2 4 CE 5
【点评】本题考查了二次函数综合题,二次函数的性质,相似三角形的判定和性质, 通过相似三角形证明角相等是本题的关键.


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